[自動化工程]對於座標系統的基本認識 - 符號篇_Part2_坐標系與轉換矩陣

座標轉換就像是座標系之間的橋樑，事實得以透過座標系轉換在不同的參考間傳遞資訊．

No.	元素名稱	符號	屬性	"值"範例
1	兒子	$$\left \{S \right \}$$	坐標系	N/A
2	媽媽	$$\left \{M \right \}$$	坐標系	N/A
3	馬克杯	$$C$$	事實	N/A
4	媽媽眼裡的馬克杯	$$\vec{P_M}$$	位置向量	$$ \begin{bmatrix} 200 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
5	兒子眼裡的馬克杯	$$\vec{P_S}$$	位置向量	$$ \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
6	媽媽眼裡的兒子	$$T_M^{S}$$	座標系轉換	\begin{bmatrix} 1 & 0 & 180 \\0&1 &0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}

    

最後也是最關鍵的的元素 - 座標系轉換，坐標系轉換表達觀察者座標系之間的關係，將位置向量進行轉換成以其他觀察者座標系為表示的位置向量，因為位置向量的值非唯一，端看觀察者座標系決定！

如上篇提到，在兒子視角裡的馬克杯轉換到媽媽視角裡，通篇故事用符號圖形表達如下 : 

轉換關係為 $\vec{P_M}=T_M^{S}\vec{P_S}$ : 以$\left \{S \right \}$為參考的位置向量$\vec{P_S}$的經過$T_M^{S}$轉換後變成了以$\left \{M \right \}$為參考的位置向量$\vec{P_M}$，因此符號下標改寫成$M$。

座標轉換還可以有以下直覺理解：

• $T_M^{S}$是一個將${S}$座標系的位置向量轉換到${M}$座標系表達的轉換矩陣
• $T_M^{S}$描述${S}$座標系在${M}$座標系統裡的觀測值，內容一般包含了平移、旋轉、縮放

最後總結一下座標系統裡的元素類別 ： 

1. 座標系
2. 事實
3. 位置向量
4. 座標系轉換

其中有值的只有：

1. 位置向量
2. 座標系轉換

任何機械系統、討論案例都能以這些元素進行展開表達，然而在套入不同的應用情況時，就要再配合領域知識研擬出最合理的座標系配置，比方說需要分析機械手末端工具時，考慮到反向力矩、和減少組裝誤差，大多情況末端工具座標系建議放在法蘭中心而非邊緣，若情非得已抓取產品中心與法蘭中心需要有偏移時，此時將工具座標系設定在抓取後的產品中心進行組裝位置計算或校正，可以減少無謂的座標系轉換疊加降低計算複雜度．

又或是機械經典問題 - 阿貝誤差，帶有光學尺的螺桿驅動系統，分析運動誤差時，將座標系設定在具有位置回授數值的光學尺讀取頭中心，或是不容易被量測的螺母中心會得到不同概念的機構模型，這也是觀測者座標系有所不同的緣故