[自動化工程]座標系統_閒聊齊次轉換矩陣HTM_part1

 其實寫網誌是一種治療語言癌的療程...

什麼是齊次轉換矩陣 (Homogenous Tranformation Matrix , HTM)?  

前篇提到座標系統裡有著"坐標系轉換"元素，用於串接坐標系間的資訊變換，而齊次轉換矩陣就是"坐標系轉換"的具現化 - 一個可被運算的特殊結構矩陣；（以下簡稱HTM） 

用HTM處理坐標系轉換有什麼好處? 

HTM精妙的點在於以一個矩陣同時裝載卡式坐標系中三種轉換性質：繞軸旋轉、原點平移，這也是為何他被冠上齊次(Homogenous)的抬頭。

我們用原生做法來襯托HTM的簡潔：在不使用前，處理繞軸旋轉、原點平移時，按變換順序計算轉換的話如此表達：

$$ \vec{P_j} = R\vec{P_i} + T $$ 
以上用了兩個元素、兩次運算達成結果：$\vec{P_i}$相乘旋轉$R$後加上平移$T$，由於每次座標轉換都要通過這幾項固定運算，我們能否將上面運算整併成一個固定流程？通過一關就得到結果?  答案當然是可以： $$ \begin{bmatrix} \vec{P_j}\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{P_i}\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\vec{P_j} + T \\ 0\vec{P_j}+1  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\vec{P_j} + T \\ 1 \end{bmatrix}$$  
上式運算展開後與原生做法等價。
在多增設一個冗餘維度：零向量$0$,和右下角常數$1$後，便可用一個矩陣漂亮跨接兩坐標系, 在此情境下的所有位置向量會多一個固定元素1；運算模式就可以直接用矩陣與向量相乘表示啦！（撒花）
既然座標系轉換可用單一矩陣運算表達，自然此應用可置入“線性代數”框架，可透過各個已被證明的矩陣性質來輔助處理相關問題了。

 

HTM連續座標轉換（矩陣相乘）？

假設今天需要做兩次座標轉換：從${i}$轉換到${j}$，再從${j}$轉換到${k}$該做如何表示？首先先用關係寫出來：

$$\vec{P_k}=T^j_kT^i_j\vec{P_i} $$

把座標轉換$T$都代換成HTM，並把R相乘，連續座標轉換後，等價於來源與目標直接轉換，與座標轉換關係一致：

$$\vec{P_k} \\ = {\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }_k^j {\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }_j^i \vec{P_i} \\ = {\begin{bmatrix} R^j_kR^i_j & R^j_kT^i_j + T^j_k\\ 0 & 1 \end{bmatrix} } \vec{P_i} \\ = {{\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }}^i_k \vec{P_i}$$

由於旋轉$R$是正交矩陣（orthogonal matrix），相乘以後，$R^j_kR^i_j$仍是正交矩陣，因此可以知道HTM彼此相乘後，形式上仍然是HTM。

 

HTM逆座標轉換？ 

• HTM必須是可逆的，因為逆座標轉換與座標轉換相乘後必須回到原座標系，因此HTM與逆HTM相乘後等於$I$： $$ I={\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }^{-1} {\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} } $$

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• 拼湊一下便得出逆轉換矩陣形式囉： $$ {\begin{bmatrix} R & T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }^{-1} = {\begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1}T\\ 0 & 1 \end{bmatrix} } $$

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• 同樣地，逆轉後的$R^{-1}$是正交矩陣，因此逆HTM仍然是一種HTM，沒跳出HTM所統治的領域啊！！！就是我大偉哉HTM

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後記1：記得縮放S是可以整合在HTM內的，還需要找資料

後記2：LATEX怎麼讓等號對齊啊