[自動化工程]給定運動時間與行程，馬達功率的最低要求

承接此篇，我們知道了一段加減速運動中所需的最大功率發生在何處，且與機構形式無關，接著問下一個問題：

給定運動時間與行程，馬達功率的最低要求為何？




由於運動時間與行程都已經被規格限定，我們能控制的只有調整加減速時間/最高速度，所以上述問題又可以換句話說：改變加減速時間對最大功率產生的影響為何？

將加減速時間化為變數，叫做$\epsilon$，接著將行程（$pitch$）、最高速度（$V_{max}$）、加減速時間（$\epsilon$）、運動時間（$t$）裝在同一式：

$$pitch = V_{max} \times (t- \epsilon)$$

將最高速度與加速度（$acc$）以運動時間、行程、加減速時間表示：

$$V_{max}=\frac{pitch}{t-\epsilon}$$
$$acc=\frac{V_{max}}{\epsilon}=\frac{pitch}{\epsilon(t-\epsilon)}$$

將兩者與質量（mass）相乘，可以得出功率（power）與運動時間、行程、加減速時間的一般關係：

$$power=mass \times \frac{pitch}{ \epsilon (t- \epsilon)^{2}},$$

微積分告訴我們找函數極值前先問過導數，所以接著對變量$\epsilon$微分，得到功率的導數：

$$\frac{dpower}{d\epsilon} =\frac{2 \times pitch}{(\epsilon \times (t-\epsilon)^{3})} - \frac{pitch}{(\epsilon^{2} \times (t-\epsilon)^{2})}$$

功率的極值發生在導數為0處，求解上式，得知解發生在$0 , t , \frac{t}{3}$，0,t帶回功率式明顯會讓分母為0，對應功率是無限大，而$\frac{t}{3}$對應功率的函數左右側都比其小，因此推論$\frac{t}{3}$對應功率極小值：

$$power_{min} = mass \times \frac{27pitch^{2}}{4t^{3}}$$

而上式給了我們什麼想法？在僅滿足運動距離與運動時間的前提下，此式給出了馬達最低所需功率；功率低於此，怎麼調整機械減速比都是無效的（不可能在運動時間內完成運動），一口氣從運動規格上說死其他設計可能性☝

由於市面上多數AC伺服多以功率為主要規格，這個概念可以用來作為機械設計前的初步評估還有縮小馬達選型範圍囉，也能用來評估控制迴路的最大功率負載，挑選過載斷路器時或許可用上

附上sympy導公式歷程（python code，用了diff()微分與solveset()求區間解：

p , t , e = symbols('pitch t \epsilon')

power = p/(e*(t-e)**2)

dpower=diff(power,e)

solveset(dpower,e)

後記1：覺得$\frac{t}{3}$這個解很妙